题号:983    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为 $N$, 在 $t=0$ 时刻已掌握新技术的人数为 $x_{0}$,在任意时刻 t 已掌握新技术的人数 $x(t)$ (将 $x(t) $ 视为连续可微变量 ) , 其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比, 比例常数 $k > 0$, 求 $x(t)$.
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答案:
已掌握新技术人数 $x(t)$ 的变化率, 即 $\frac{d x}{d t}$, 由题意可立即建立初值问题
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=k x(N-x) \\
x(0)=x_{0}
\end{array}\right.
$$
把方程分离变量得 $\frac{d x}{x(N-x)}=k d t, \frac{1}{N}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{N-x}\right) d x=k d t$.
积分可得 $\frac{1}{N} \ln \frac{x}{N-x}=k t+c_{1}, x=\frac{c N e^{k N t}}{1+c e^{k N t}}$.
以 $x(0)=x_{0}$ 代入确定 $c=\frac{x_{0}}{N-x_{0}}$, 故所求函数为 $x=\frac{N x_{0} e^{k N t}}{N-x_{0}+x_{0} e^{k N t}}$.
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