题号:981    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
计算 $I=\iint_{0}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 为平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴疑转一周形成的曲 面与平面 $z=8$ 所围成的区域.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 2 次查看 我来讲解
答案:
方法 1: 采用柱面坐标, 先 $(r, \theta)$ 后 $z$, 为此, 作平面 $z=z$.
$$
\begin{aligned}
&D_{z}=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 z, z=z\right\} \\
&I=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d v=\int_{0}^{8} d z \iint_{D_{z}} r^{2} r d r d \theta \text { (将直角坐标化为柱面坐标) } \\
&=\int_{0}^{8} d z \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\sqrt{2 z}} r^{3} d r=\frac{1024 \pi}{3} .
\end{aligned}
$$
方法 2: 将 $\Omega$ 投影到 $x O y$ 平面, 得圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 16\right\}$, 用柱面坐标先 $z$ 后 $(r, \theta)$, 有
$$
I=\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d v=\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{4} d r \int_{\frac{r^{2}}{2}}^{8} r^{3} d z=2 \pi \int_{0}^{4} r^{3}\left(8-\frac{r^{2}}{2}\right) d r=\frac{1024 \pi}{3} .
$$
评注: 做二次积分或三次积分时, 如果里层积分的结果不含外层积分变量, 那么里、外层积分 可以分别积分然后相乘即可. 如本例方法 2 中 $\int_{0}^{2 \pi} d \theta$ 可以单独先做.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭