题号:979    题型:单选题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\alpha_{1}=\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right], \alpha_{2}=\left[\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array}\right], \alpha_{3}=\left[\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}\end{array}\right]$, 则三条直线
$$
\begin{aligned}
&a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\
&a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 \\
&a_{3} x+b_{3} y+c_{3}=0
\end{aligned}
$$
(其中 $\left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \neq 0, i=1,2,3\right)$ 交于一点的充要条件是
$A.$ $a_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, 线性相关 $B.$ $a_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, 线性无关 $C.$ 秩 $r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=$ 秩 $r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ $D.$ $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关
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答案:
D

解析:

方法 1: 三条直线交于一点的充要条件是方程组
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } = 0 } \\
{ a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } = 0 } \\
{ a _ { 3 } x + b _ { 3 } y + c _ { 3 } = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
a_{1} x+b_{1} y=-c_{1} \\
a_{2} x+b_{2} y=-c_{2} \\
a_{3} x+b_{3} y=-c_{3}
\end{array}\right.\right.
$$
有唯一解.
将上述方程组写成矩阵形式: $A_{3 \times 2} X=b$, 其中 $A=\left[\begin{array}{ll}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3}\end{array}\right]$ 是其系数矩阵, $b=\left[\begin{array}{c}-c_{1} \\ -c_{2} \\ -c_{3}\end{array}\right]$.
则 $A X=b$ 有唯一解 $\Leftrightarrow r(A)=r[A \vdots b]=2$ (方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等
于末知量的个数), 即 $\mathrm{A}$ 的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性相关. 所以应选 (D).
方法 2:用排除法.
(A) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关, 当 $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}$ 时, 方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且
小于末知量的个数, 则(1)式有无穷多解, 根据解的个数与直线的位置关系. 所以三条直线重合, 相交有无穷多点, (A) 不成立.
(B) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关, $\alpha_{3}$ 不能由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性表出, 方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩 不相等, 方程组无解, 根据解得个数与直线的位置关系, 所以一个交点也没有, (B) 不成立.
(C) 秩 $r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=$ 秩 $r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$, 当 $r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=1$ 时, 三条直线重合,
不只交于一点, 与题设条件矛盾, 故 (C) 不成立.
由排除法知选 (D).
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