题号:978    题型:单选题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
设 $F(x)=\int_{x}^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$, 则 $F(x)$
$A.$ 为正常数 $B.$ 为负常数 $C.$ 恒为零 $D.$ 不为常数
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答案:
A

解析:

由于函数 $e^{\sin t} \sin t$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数, 所以,
$$
F(x)=\int_{x}^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t d t=\int_{0}^{2 \pi} e^{\sin t} \sin t d t,
$$
$F(x)$ 的值与 $x$ 无关. 不选 D, (周期函数在一个周期的积分与起点无关).
估计 $\int_{0}^{2 \pi} e^{\sin t} \sin t d t$ 的值有多种方法.
方法 1:划分 $e^{\sin t} \sin t$ 取值正、负的区间.
$$
\begin{aligned}
F(x) &=\int_{0}^{2 \pi} e^{\sin t} \sin t d t=\int_{0}^{\pi} e^{\sin t} \sin t d t+\int_{\pi}^{2 \pi} e^{\sin t} \sin t d t \\
&=\int_{0}^{\pi} e^{\sin t} \sin t d t+\int_{0}^{\pi} e^{-\sin u}(-\sin u) d u \\
&=\int_{0}^{\pi}\left(e^{\sin t}-e^{-\sin t}\right) \sin t d t
\end{aligned}
$$
当 $0 < t < \pi$ 时, $\sin t > 0, e^{\sin t}-e^{-\sin t} > 0$, 所以 $F(x) > 0$. 选 (A).
方法 2:用分部积分法.
$$
\begin{aligned}
F(x) &=\int_{0}^{2 \pi} e^{\sin t} \sin t d t=-\int_{0}^{2 \pi} e^{\sin t} d \cos t \\
&=-\left.e^{\sin t} \cos t\right|_{0} ^{2 \pi}+\int_{0}^{2 \pi} \cos t d e^{\sin t} \\
&=-e^{0}(1-1)+\int_{0}^{2 \pi} e^{\sin t} \cos t^{2} d t=\int_{0}^{2 \pi} e^{\sin t} \cos t^{2} d t > 0 .
\end{aligned}
$$
故应选 (A).
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