【ID】977 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】1997年全国硕士研究生招生考试试题
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) > 0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) > 0$, 令 $S_{1}=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, S_{2}=$ $f(b)(b-a), S_{3}=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$, 则
$A.$ $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ $B.$ $S_{2} < S_{1} < S_{3}$ $C.$ $S_{3} < S_{1} < S_{2}$ $D.$ $S_{2} < S_{3} < S_{1}$
答案:
B

解析:

用几何意义. 由 $f(x) > 0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) > 0$ 可知, 曲线 $y=f(x)$ 是 上半平面的一段下降的凹弧, $y=f(x)$ 的图形大致如右图.
$S_{1}=\int_{a}^{b} f(x) d x$ 是曲边梯形 $A B C D$ 的面积;
$S_{2}=f(b)(b-a)$ 是矩形 $A B C E$ 的面积;
$S_{3}=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$ 是梯形 $A B C D$ 的面积.
由图可见 $S_{2} < S_{1} < S_{3}$, 应选 (B).

视频讲解

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