题号:976    题型:单选题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
二元函数 $ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases} $ 在点 $(0,0)$ 处
$A.$ 连续, 偏导数存在. $B.$ 连续, 偏导数不存在. $C.$ 不连续, 偏导数存在. $D.$ 不连续, 偏导数不存在.
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答案:
C

解析:

这是讨论 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点是否连续, 是否存在偏导数的问题. 按定义 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\left.\frac{d}{d x} f(x, 0)\right|_{x=0}, \frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\left.\frac{d}{d y} f(0, y)\right|_{y=0}$,
由于 $\quad f(x, 0)=0(\forall x), f(0, y)=0(\forall y)$,
$\Rightarrow \exists$ 偏导数且 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=0, \frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=0$.
再看 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否连续? 由于
$$
\lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\ y=x}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0),
$$
因此 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 不连续. 应选 (C).
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