题号:973    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
对数 螺线 $\rho=\mathrm{e}^{\theta}$ 在点 $ (\rho, \theta)=\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}, \frac{\pi}{2}\right) $ 处的 切线的 直角坐标方程
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答案:
$x+y=e^{\frac{\pi}{2}}$

解析:

求切线方程的主要问题是求其斜率 $k=y_{x}^{\prime}$, 而 $y_{x}^{\prime}$ 可由 $\rho=e^{\theta}$ 的参数方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\rho \cos \theta=e^{\theta} \cos \theta \\
y=\rho \sin \theta=e^{\theta} \sin \theta
\end{array}\right.
$$
求得:
$$
y_{x}^{\prime}=\frac{y_{\theta}^{\prime}}{x_{\theta}^{\prime}}=\frac{e^{\theta} \sin \theta+e^{\theta} \cos \theta}{e^{\theta} \cos \theta-e^{\theta} \sin \theta}=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\cos \theta-\sin \theta},\left.y_{x}^{\prime}\right|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=-1,
$$
所以切线的方程为 $y-e^{\frac{\pi}{2}}=-(x-0)$, 即 $x+y=e^{\frac{\pi}{2}}$.
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