题号:972    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
设幂级数 $ \sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}x^{n} $ 的 收敛半径 为3,则幂级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}\left(x-1\right)^{n+1} $ 的 收敛区间 为
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答案:
$(2,-4)$

解析:

考察这两个幂级数的关系. 令 $t=x-1$, 则
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} t^{n+1}=t^{2} \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} t^{n-1}=t^{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} t^{n}\right)^{\prime} .
$$
由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}$ 的收敛半径为 $3 \Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} t^{n}\right)^{\prime}$ 的收敛半径为 3 . 从而 $t^{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} t^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} t^{n+1}$ 的收敛半径为 3 , 收敛区间即 $(-3,3)$, 回到原幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-1)^{n+1}$, 它的收敛区间为 $-3 < x-1 < 3$, 即 $(-2,4)$.


评注: 幂级数的收敛区间指的是开区间, 不考虑端点.
对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$, 若 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho \Rightarrow$ 它的收敛半径是 $R=\frac{1}{\rho}$. 但是若只知它的收敛半径 为 $R$, 则 $\Longrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{R}$, 因为 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ 可以不存在 (对于缺项幂级数就是这种情形).
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