记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 对任意正整数 $n$, 有 $2 S_n=(n+2)\left(a_n-1\right)$.
(1) 证明: 数列 $\left\{\frac{a_n+1}{n+1}\right\}$ 为常数列;
(2) 求数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$