已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $B$ 是椭圆 $C$ 的上顶点, $\triangle B F_1 F_2$ 是等边三角形, $\triangle B F_1 F_2$ 的内切圆 的面积为 $\frac{\pi}{3}$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 已知 $T$ 在 $x$ 轴负半轴上且 $|O T|=4\left|O F_1\right|$, 过 $T$ 的直线与椭圆交于 $M, N$ 两点, 求 $\triangle M N F_1$ 面积的最大值.