探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。 $x$ 轴上方存在垂直 $x O y$ 平面向外、磁感应强度大小 为 $B$ 的匀强磁场。 $x$ 轴下方的分析器由两块相距为 $d$ 、长度足够的平行金属薄板 $M$ 和 $N$ 组成, 其中位于 $x$ 轴的 $M$ 板中心有一小孔 $C$ (孔径忽略不计), $N$ 板连接电流表后接地。位于坐标原点 $O$ 的离子源能发射质 量为 $m$ 、电荷量为 $q$ 的正离子, 其速度方向与 $y$ 轴夹角最大值为 $60^{\circ}$; 且各个方向均有速度大小连续分布 在 $\frac{1}{2} v_0$ 和 $\sqrt{2} v_0$ 之间的离子射出。已知速度大小为 $v_0$ 、沿 $y$ 轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直 $x$ 轴射入孔 $C$ 。末能射入孔 $C$ 的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽 (图中没有画出)。不计离子的重力及相 互作用, 不考虑离子间的碰撞。
(1) 求孔 $C$ 所处位置的坐标 $x_0$;
(2) 求离子打在 $N$ 板上区域的长度 $L$;
(3) 若在 $N$ 与 $M$ 板之间加载电压, 调节其大小, 求电流表示数刚为 0 时的电压 $U_0$;
(4) 若将分析器沿着 $x$ 轴平移, 调节加载在 $N$ 与 $M$ 板之间的电压, 求电流表示数刚为 0 时的电压 $U_x$ 与孔 $C$ 位置坐标 $x$ 之间关系式。