如图 1 所示, 刚性导体线框由长为 $L$ 、质量均为 $m$ 的两根坚杆, 与长为 $2 l$ 的两轻质横杆组成, 且
$L ? 2 l$ 。线框通有恒定电流 $I_0$, 可以绕其中心坚直轴转动。以线框中心 $O$ 为原点、转轴为 $z$ 轴建立直角 坐标系, 在 $y$ 轴上距离 $O$ 为 $a$ 处, 固定放置二半径远小于 $a$, 面积为 $S$ 、电阻为 $R$ 的小圆环, 其平面垂直 于 $y$ 轴。在外力作用下, 通电线框绕转轴以角速度 $\omega$ 匀速转动, 当线框平面与 $x O z$ 平面重合时为计时零 点, 圆环处的磁感应强度的 $y$ 分量 $B_y$ 与时间的近似关系如图 2 所示, 图中 $B_0$ 已知。
（1）求 0 到 $\frac{\pi}{\omega}$ 时间内, 流过圆环横截面的电荷量 $q$;
(2) 沿 $y$ 轴正方向看以逆时针为电流正方向, 在 $0 \sim \frac{2 \pi}{3 \omega}$ 时间内, 求圆环中的电流与时间的关系;
(3) 求圆环中电流的有效值;
(4) 当撤去外力, 线框将缓慢减速, 经 $\frac{\pi}{\omega}$ 时间角速度减小量为 $\Delta \omega\left(\frac{\Delta \omega}{\omega}=1\right)$, 设线框与圆环的能量转 换效率为 $k$, 求 $\Delta \omega$ 的值 (当 $0 < x=1$, 有 $(1-x)^2 \approx 1-2 x$ )。