题号:848    题型:解答题    来源:2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
23. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \operatorname{cost} \\ y=1+\operatorname{asin} t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数, $a > 0 )$
. 在以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 $C_{2}: \rho=4 \cos \theta$.
( I ) 说明 $C_{1}$ 是哪种曲线, 并将 $C_{1}$ 的方程化为极坐标方程;
(II) 直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\alpha_{0}$, 其中 $\alpha_{0}$ 满足 $\tan \alpha_{0}=2$, 若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公 共点都在 $C_{3}$ 上, 求 $a$.
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答案:
解 ( I ) 由 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=1+a \sin t\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \operatorname{cost} \\ y-1=a \operatorname{in} t\end{array}\right.$, 两式平方相加得, $x^{2}+( y-1$ )$^{2}=a^{2} .$
$\therefore C_{1}$ 为以 $(0,1)$ 为圆心, 以 $a$ 为半径的圆.
化为一般式: $x^{2}+y^{2}-2 y+1-a^{2}=0$. (1)
由 $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}, y=\rho \sin \theta$, 得 $\rho^{2}-2 \rho \sin \theta+1-a^{2}=0$;
(II ) $C_{2}: \rho=4 \cos \theta$, 两边同时乘 $\rho$ 得 $\rho^{2}=4 \rho \cos \theta$,
$$
\therefore x^{2}+y^{2}=4 x \text {, }
$$
即 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$.
由 $C_{3}$ : $\theta=\alpha_{0}$, 其中 $\alpha_{0}$ 满足 $\tan \alpha_{0}=2$, 得 $y=2 x$,
$\because$ 曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点都在 $C_{3}$ 上,
$\therefore y=2 x$ 为圆 $C_{1} 与 C_{2}$ 的公共弦所在直线方程,
(1)- (2)得: $4 x-2 y+1-a^{2}=0$, 即为 $C_{3}$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore 1-a^{2}=0 \\
&\therefore a=1 \quad(a > 0)
\end{aligned}
$$
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