题号:844    题型:解答题    来源:2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
类型:高考真题
某公司计划购买 2 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器 有一易损零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元. 现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数, 得如图柱状图:
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生 的概率, 记 $X$ 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, $n$ 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.



( I ) 求 $\mathrm{X}$ 的分布列;
(II ) 若要求 $P(x \leqslant n) \geqslant 0.5$, 确定 $n$ 的最小值;
(IIII) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在 $n=19$ 与 $n=20$ 之中选其 一,应选用哪个?
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答案:
解:(I ) 由已知得 $\mathrm{X}$ 的可能取值为 $16,17,18,19,20,21,22$,
$P(X=16)=\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{1}{25}$
$P(X=17)=\frac{20}{100} \times \frac{40}{100} \times 2=\frac{4}{25}$,
$P(X=18)=\left(\frac{40}{100}\right)^{2}+2\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{6}{25}$,
$P(X=19)=2 \times \frac{40}{100} \times \frac{20}{100}+2 \times\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{6}{25}$,
$P(X=20)=\left(\frac{20}{100}\right)^{2}+2 \times \frac{40}{100} \times \frac{20}{100}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$,
$P(X=21)=2 \times\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{2}{25}$
$P(X=22)=\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{1}{25}$,
$\therefore \mathrm{X}$ 的分布列为:



(II) 由(I)知:
$$
\begin{aligned}
&P(X \leqslant 18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18) \\
&=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}=\frac{11}{25} . \\
&P(X \leqslant 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) \\
&=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}+\frac{6}{25}-\frac{17}{25} . \\
&\therefore P(X \leqslant n) \geqslant 0.5 \text { 中, } n \text { 的最小值为 } 19 .
\end{aligned}
$$

( III ) 解法一: 由 ( I ) 得 $P(X \leqslant 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)$ $=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}+\frac{6-17}{2525}$.
买 19 个所需费用期望:
$\mathrm{EX}_{1}=200 \times 19 \times \frac{17}{25}+(200 \times 19+500) \times \frac{5}{25}+(200 \times 19+500 \times 2) \times \frac{2}{25}+(200 \times$
$19+500 \times 3) \times \frac{1}{25}=4040$,
买 20 个所需费用期望:
$E_{2}=200 \times 20 \times \frac{22}{25}+(200 \times 20+500) \times \frac{2}{25}+(200 \times 20+2 \times 500) \times \frac{1}{25}=4080$, $\because$ EX $_{1} < \mathrm{EX}_{2}$, $\therefore$ 买 19 个更合适.
解法二:购买零件所用费用含两部分, 一部分为购买零件的费用,
另一部分为备件不足时额外购买的费用,
当 $n=19$ 时, 费用的期望为: $19 \times 200+500 \times 0.2+1000 \times 0.08+1500 \times 0.04=4040$,
当 $n=20$ 时, 费用的期望为: $20 \times 200+500 \times 0.08+1000 \times 0.04=4080$,
$\therefore$ 买 19 个更合适.

解析:

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