【ID】798 【题型】解答题 【类型】高考真题 【来源】2015 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
选修 4 一 1:几何证明选讲
22. (10 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $A C$ 是 $\odot O$ 的切线, $B C$ 交 $\odot O$ 于点 $E$.
( I ) 若 $D$ 为 $A C$ 的中点, 证明: $D E$ 是 $\odot O$ 的切线;
(II) 若 $\mathrm{OA}=\sqrt{3} \mathrm{CE}$, 求 $\angle A C B$ 的大小.
答案:
解: ( I ) 连接 $A E$, 由已知得 $A E \perp B C, A C \perp A B$, 在 RT $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 由已知可得 $\mathrm{DE}=\mathrm{DC}, \therefore \angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{DCE}$,
连接 $\mathrm{OE}$, 则 $\angle \mathrm{OBE}=\angle \mathrm{OEB}$,
$$
\text { 又 } \angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{DEC}+\angle \mathrm{OEB}=90^{\circ} \text {, }
$$
$\therefore \angle \mathrm{OED}=90^{\circ}, \therefore \mathrm{DE}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线;
(II) 设 $\mathrm{CE}=1, \mathrm{AE}=\mathrm{x}$,
由已知得 $A B=2 \sqrt{3}, B E=\sqrt{12-x^{2}}$,
由射影定理可得 $A E^{2}=C E \bullet B E$,
$$
\therefore x^{2}=\sqrt{12-x^{2}} \text {, 即 } x^{4}+x^{2}-12=0 \text {, }
$$
解方程可得 $x=\sqrt{3}$
$$
\therefore \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}
$$

解析:

视频讲解

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