题号:795    题型:解答题    来源:2015 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 $x$(单位: 千元) 对年销售量 y(单位: t) 和年利润 z(单位: 千元) 的影响, 对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots, 8)$ 数据作了初步处理, 得 到下面的散点图及一些统计量的值.


表中 $w_{i}=\sqrt{x}, \quad-\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} w_{i}$
( I ) 根据散点图判断, $y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣 传费 $\mathrm{x}$ 的回归方程类型? (给出判断即可, 不必说明理由)
(II )根据(I )的判断结果及表中数据, 建立 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的回归方程;
(III) 已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x 、 y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$. 根据(II ) 的结果 回答下列问题:
(i)年宣传费 $x=49$ 时, 年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费 $\mathrm{x}$ 为何值时, 年利润的预报值最大?
附: 对于一组数据 $\left(u_{1} v_{1}\right),\left(u_{2} v_{2}\right) \ldots . .\left(u_{n} v_{n}\right)$, 其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为: $\widehat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u$.
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答案:
解: ( I ) 由散点图可以判断, $y=c+d \sqrt{x}$ 适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣 传费 $\mathrm{x}$ 的回归方程类型;
(II) 令 $w=\sqrt{x}$, 先建立 $y$ 关于 $w$ 的线性回归方程, 由于 $\hat{d} \frac{108.8}{1.6}=68$, $\widehat{c}=\bar{y}-\widetilde{d \omega}=563-68 \times 6.8=100.6$,
所以 $y$ 关于 $w$ 的线性回归方程为 $\widehat{y}=100.6+68 w$,
因此 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的回归方程为 $\widehat{y}=100.6+68 \sqrt{x}$,
(III) (i) 由 (II) 知, 当 $x=49$ 时, 年销售量 $y$ 的预报值 $\widehat{y}=100.6+68 \sqrt{49}=576.6$
年利润 $z$ 的预报值 ${ }_{z}=576.6 \times 0.2-49=66.32$,
(ii) 根据 ( II) 的结果可知, 年利润 $z$ 的预报值 $\widehat{z}=0.2(100.6+68 \sqrt{x})$
$-x=-x+13.6 \sqrt{x}+20.12$,
当 $\sqrt{x}=\frac{13.6}{2}=6.8$ 时, 即当 $x=46.24$ 时, 年利润的预报值最大.
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