题号:793    题型:解答题    来源:2015 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{n} > 0, a_{n}^{2}+2 a_{n}=4 S_{n}+3$
(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式:
(II) 设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
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答案:
解: (I) 由 $a_{n}^{2}+2 a_{n}=4 S_{n}+3$, 可知 $a_{n+1}{ }^{2}+2 a_{n+1}=4 S_{n+1}+3$
两式相减得 $a_{n+1}{ }^{2}-a_{n}^{2}+2\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=4 a_{n+1}$,
即 $2\left(a_{n+1}+a_{n}\right)=a_{n+1}{ }^{2}-a_{n}^{2}=\left(a_{n+1}+a_{n}\right)\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$,
$\because a_{n} > 0, \quad \therefore a_{n+1}-a_{n}=2$,
$\because a_{1}^{2}+2 a_{1}=4 a_{1}+3$,
$\therefore a_{1}=-1$ (舍) 或 $a_{1}=3$,
则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 3 , 公差 $d=2$ 的等差数列,
$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=3+2(n-1)=2 n+1$ :
(II) $\because a_{n}=2 n+1$,
$\therefore b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+3}\right)$,
$\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+3}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2 n+3}\right)=$ $\frac{n}{3(2 n+3)}$
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