将函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位得到函数 $g(x)$ 的图象, 若 $g(x)$ 的图象 与 $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ $\varphi=\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 图象的对称轴过函数 $g(x)$ 图象的对称中心
$\text{C.}$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$ 上, 函数 $g(x)$ 与 $f(x)$ 都单调递减
$\text{D.}$ $\forall m \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right], \exists n \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right]$, 使得 $g(m)=f(n)$