【ID】702 【题型】填空题 【类型】高考真题 【来源】2014 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
24. 若 $a > 0, b > 0$, 且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$.
(I) 求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值;
(II) 是否存在 $a, b$, 使得 $2 a+3 b=6$ ? 并说明理由.
答案:
解: ( I ) $\because a > 0, b > 0$, 且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$,
$$
\therefore \sqrt{a b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geqslant 2 \sqrt{\frac{1}{a b}}, \quad \therefore a b \geqslant 2,
$$
当且仅当 $a=b=\sqrt{2}$ 时取等号.
$\because a^{3}+b^{3} \geqslant 2 \sqrt{(a b)^{3}} \geqslant 2 \sqrt{2^{3}}=4 \sqrt{2}$, 当且仅当 $a=b=\sqrt{2}$ 时取等号,
$\therefore a^{3}+b^{3}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$.
(II) $\because 2 a+3 b \geqslant 2 \sqrt{2 a \cdot 3 b}=2 \sqrt{6 a b}$, 当且仅当 $2 a=3 b$ 时, 取等号.
而由(1)可知, $2 \sqrt{6 a b} \geqslant 2 \sqrt{12}=4 \sqrt{3} > 6$,
故不存在 $a, b$, 使得 $2 a+3 b=6$ 成立.

解析:

视频讲解

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