已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, $A\left(\frac{\sqrt{15}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 是 $C$ 上一点, 若 $C$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 连结 $A F_2$ 交 $C$ 于点 $B$, 则
$\text{A.}$ $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$
$\text{B.}$ $\angle F_1 A F_2=90^{\circ}$
$\text{C.}$ $\triangle F_1 A F_2$ 的周长为 $2 \sqrt{5}+2$
$\text{D.}$ $\triangle A B F_1$ 的内切圆半径为 $\sqrt{5}-\sqrt{3}$