【ID】694 【题型】填空题 【类型】高考真题 【来源】2014 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边, $a=2$ 且 ( $2+b$ ) $(\sin A-\sin B)=(c-b) \sin C$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 (  )
答案:
$\sqrt{3}$

解析:

解:因为: $(2+b)(\sin A-\sin B)=(c-b) \sin C$
$$
\begin{aligned}
&\Rightarrow(2+b) \quad(a-b)=(c-b) c \\
&\Rightarrow 2 a-2 b+a b-b^{2}=c^{2}-b c
\end{aligned}
$$
又因为: $a=2$,
所以: $a^{2}-b^{2}=c^{2}-b c \Rightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c \Rightarrow \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{\pi}{3}$,
$\triangle A B C$ 面积 $S=\frac{1}{2} b c s i n A=\frac{\sqrt{3}}{4} b c$,
而 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$
$$
\begin{aligned}
&\Rightarrow b^{2}+c^{2}-\quad b c=a^{2} \\
&\Rightarrow b^{2}+c^{2}-\quad b c=4 \\
&\Rightarrow b c \leqslant 4
\end{aligned}
$$
所以: $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{\sqrt{3}}{4} b c \leqslant \sqrt{3}$, 即 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$. 故答案为: $\sqrt{3}$.

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