题号:693    题型:填空题    来源:2014 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
类型:高考真题
已知 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 上的三点, 若 $\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$, 则 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的 夹角为
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答案:
$90^{\circ}$

解析:

解:在圆中若 $\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$, 即 $2 \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,
即 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的和向量是过 $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ 的直径,
则以 $A B, A C$ 为邻边的四边形是矩形,
则 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$,
即 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的夹角为 $90^{\circ}$,
故答案为: $90^{\circ}$

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