题号:678    题型:解答题    来源:2021年安徽省中考数学试卷
如图 1, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle A B C=\angle B C D$, 点 $E$ 在边 $B C$ 上, 且 $A E / / C D, D E / / A B$, 作 $C F / / A D$ 交线段 $A E$ 于点 $F$, 连接 $B F$.
(1) 求证: $\triangle A B F \cong \triangle E A D$;
(2) 如图 2. 若 $A B=9, C D=5, \angle E C F=\angle A E D$, 求 $B E$ 的长;
(3) 如图 3, 若 $B F$ 的延长线经过 $A D$ 的中点 $M$, 求 $\frac{B E}{E C}$ 的值.
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答案:
解: (1) 如图 $1, A E / / C D$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle A E B=\angle B C D, \\
& \angle A B C=\angle B C D, \\
&\therefore \angle A B C=\angle A E B, \\
&\therefore A B=A E, \\
& D E / / A B, \\
&\therefore \angle D E C=\angle A B C, \angle A E D=\angle B A F \\
& \angle A B C=\angle B C D, \\
&\therefore \angle D E C=\angle B C D, \\
&\therefore D E=D C, \\
& C F / / A D, A E / / C D, \\
&\therefore \text { 四边形 } A D C F \text { 是平行四边形, } \\
&\therefore A F=C D, \\
&\therefore A F=D E, \\
&\left\{\begin{array}{l}
A B B F \cong A E A D=\text { 在 } \triangle A B F \text { 和 } \triangle E A D \text { 中, } \\
A F=D E
\end{array}\right. \\
&\therefore \angle A E D, \\
&\therefore A B S) ;
\end{aligned}
$$

(2) 方法(1): $\mathrm{Q} C F / / A D$,
$\therefore \angle E A D=\angle C F E$ $\mathrm{Q} \angle E C F=\angle A E D$ $\therefore \triangle E A D C O \triangle C F E$ $\therefore \frac{A D}{E F}=\frac{D E}{C E}=\frac{A E}{C F}$
由(1)知: 四边形 $A D C F$ 是平行四边形,
$$
\therefore A D=C F, A F=C D \text {, }
$$
$ A B=9, C D=5$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A E=9, \quad D E=5, \\
&\therefore E F=A E-A F=9-5=4,
\end{aligned}
$$
$\therefore \frac{C F}{4}=\frac{5}{C E}=\frac{9}{C F}$,
$$
\therefore C F^{2}=4 \times 9=36 \text {, 即 } C F=6 \text {, }
$$
$\therefore C E=\frac{10}{3}$,
$$
\angle A B C=\angle B C D=\angle A E B=\angle D E C \text {, }
$$
$\therefore \triangle A B E^{\circ} \triangle D E C$,
$$
\therefore \frac{B E}{A B}=\frac{E C}{D C} \text {, 即 } \frac{B E}{9}=\frac{\frac{10}{3}}{5} \text {, }
$$

$$
\therefore B E=6 \text {; }
$$
方法(2): 由(1)知 $\triangle A B F \cong \triangle E A D$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle A B F=\angle E A D, \\
& \angle E A D=\angle C F E \\
&\therefore \angle A B F=\angle C F E, \\
& \angle A B C=\angle A E B, \angle A B C=\angle A B F+\angle E B F, \angle A E B=\angle C F E+\angle E C F, \\
&\therefore \angle E B F=\angle E C F \\
& \angle B A E=\angle A E D=\angle E C F \\
&\therefore \angle E B F=\angle B A E
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \angle B E F=\angle A E B, \\
&\therefore \triangle B E F \sim \triangle A E B, \\
&\therefore \frac{B E}{E F}=\frac{A E}{B E}, \text { 即 } \frac{B E}{4}=\frac{9}{B E}, \\
&\therefore B E=6 ;
\end{aligned}
$$
(3) 如图 3 , 延长 $B M 、 E D$ 交于点 $G$,
$ \triangle A B E, \triangle D C E$ 均为等腰三角形, 且 $\angle A B C=\angle D C E$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \triangle A B E \backsim \triangle D C E, \\
&\therefore \frac{A B}{D C}=\frac{A E}{D E}=\frac{B E}{C E},
\end{aligned}
$$
设 $C E=1, B E=x, D C=D E=a$,
则 $A B=A E=a x, A F=C D=a$,
$$
\therefore E F=A E-A F=a x-a=a(x-1) \text {, }
$$
$ A B / / D G$,
$$
\therefore \angle A B G=\angle G
$$
$A D$ 的中点 $M$,
$$
\therefore A M=D M \text {, }
$$
$$
\begin{aligned}
& \angle A M B=\angle D M G \\
&\therefore \triangle A M B \cong \triangle D M G(A A S)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\therefore D G=A B=a x, \\
&\therefore E G=D G+D E=a x+a=a(x+1), \\
&\therefore \frac{B E}{C E}=\frac{A B}{D E}=\frac{a x}{a}=x, \\
& A B / / D G \quad \text { 即 } A B / / E G), \\
&\therefore \triangle A B F C \Delta E G F, \\
&\therefore \frac{A B}{E G}=\frac{A F}{E F}, \text { 即 } \frac{a x}{a(x+1)}=\frac{a}{a(x-1)}, \\
&\therefore x^{2}-2 x-1=0,
\end{aligned}
$$
解得: $x=1+\sqrt{2}$ 或 $x=1-\sqrt{2}$ (舍去),
$$
\therefore \frac{B E}{E C}=x=1+\sqrt{2} \text {. }
$$



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