题号:673    题型:解答题    来源:2021年安徽省中考数学试卷
某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成, 图 1
表示此人行道的地砖排列方式, 其中正方形地砖为连续排列.

[观察思考]
当正方形地砖只有 1 块时, 等腰直角三角形地砖有 6 块 (如图 2); 当正方形地砖有 2 块时,
等腰直角三角形地砖有 8 块 (如图 3); 以此类推.
[规律总结]
(1) 若人行道上每增加 1 块正方形地砖, 则等腰直角三角形地砖增加 2 块;
(2) 若一条这样的人行道一共有 $n(n$ 为正整数) 块正方形地砖, 则等腰直角三角形地砖的 块数为__(用含 $n$ 的代数式表示).
[问题解决 ]
(3) 现有 2021 块等腰直角三角形地砖, 若按此规律再建一条人行道, 要求等腰直角三角形 地砖剩余最少, 则需要正方形地砖多少块?
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答案:
解: (1) 观察图 1 可知: 中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块 正方形地砖, 等腰直角三角形地砖就增加 2 块;
故答案为: 2 ;
(2) 观察图形 2 可知: 中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等腰直角三角形, 它 右上和右下各对应了一个等腰直角三角形, 右边还有 1 个等腰直角三角形, 即
$6=3+2 \times 1+1=4+2 \times 1$; 图 3 和图 1 中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形, 均有图 2 一样的规律, 图 $3: 8=3+2 \times 2+1=4+2 \times 2$; 归纳得: $4+2 n$ (即 $2 n+4)$;
$\therefore$ 若一条这样的人行道一共有 $n(n$ 为正整数) 块正方形地砖, 则等腰直角三角形地砖的块数 为 $2 n+4$ 块;
故答案为: $2 n+4$;
(3) 由规律知: 等腰直角三角形地砖块数 $2 n+4$ 是偶数,
$\therefore$ 用 $2021-1=2020$ 块,
再由题意得: $2 n+4=2020$,
解得: $n=1008$,
$\therefore$ 等腰直角三角形地砖剩余最少为 1 块, 则需要正方形地砖 1008 块.

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