题号:6637    题型:解答题    来源:B站刘老师开讲《线性代数B》第七套期末模拟考试
给定方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1, \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+x_4=0, \\ x_2+2 x_3+2 x_4=3, \\ 5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4=a_n\end{array}\right.$ 问当 $a$ 为何值时, 方程组有解? 在有无穷多解时, 求出它的通解, 并给出其导出组的一个基础解系.
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答案:
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解 该非齐次线性方程组的增广矩阵为
$$
(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 3 & a
\end{array}\right)
$$
$\sim$
$$
\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -2 & a-5
\end{array}\right)
$$
$\sim$
$$
\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -2 & a-5
\end{array}\right)
$$

$\sim$

$$
\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a-2
\end{array}\right)
$$
$\sim$
$$
\left(\begin{array}{rrrrr}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & b \\
1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a-2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

(1)当 $a-2 \neq 0$, 即 $a \neq 2$ 时, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=3, \mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \neq \mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$, 线性方程组无解;


(2) 当 $a-2=0$, 即 $a=2$ 时, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=2, \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) < n=4$, 线性方程组有无穷多解;
因此原方程组的同解方程为: $\left\{\begin{array}{l}x_1=x_3+x_4-2, \\ x_2=-2 x_3-2 x_4+3,\end{array}\left(x_3, x_4\right.\right.$ 为自由末知量 $)$;
取 $\left(\begin{array}{l}x_3 \\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$ 得原方程组的一个特解为: $\eta^*=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$;

原方程组的导出组的同解方程组为: $\left\{\begin{array}{l}x_1=x_3+x_4, \\ x_2=-2 x_3-2 x_4,\end{array}\right.$ ( $x_3, x_4$ 为自由末知量),
取 $\left(\begin{array}{l}x_3 \\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$ 得原方程组的导出组的基础解系为:
$$
\boldsymbol{\xi}_1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_2=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right),
$$

原方程组的通解为:
$$
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\eta}^*+c_1 \boldsymbol{\xi}_1+c_2 \boldsymbol{\xi}_2=\left(\begin{array}{r}
-2 \\
3 \\
0 \\
0
\end{array}\right)+c_1\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right),\left(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\right)
$$

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