题号:
6633
题型:
填空题
来源:
B站刘老师开讲《线性代数B》第七套期末模拟考试
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 满足 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=0,|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|=0$, 且齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解, 则 $\left|\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\right|= $.
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解析：
析 a. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda$ 的充分条件:
(1) $A x=\lambda x(x \neq 0)$;
(2)线性方程组 $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解或 $(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解;
(3) $|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=0$ 或 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0$;
b. 设 $\lambda_i(i=1,2,3)$ 是矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值, 则 $|\boldsymbol{B}|=\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$;
解(析 a) $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=0 \Rightarrow|\boldsymbol{A}-(-2 \boldsymbol{E})|=0 \Rightarrow \boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda_1=-2$;
$|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|=0 \Rightarrow \boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda_2=3 ; \quad(\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解 $\Rightarrow \boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda_3=-4 ;$
(析 b) $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 的特征值为 $f(\lambda)=\lambda^2+\lambda+1(i=1,2,3)$, 即 $f\left(\lambda_1\right)=f(-2)=3, f\left(\lambda_2\right)=f(3)=13$, $f\left(\lambda_3\right)=f(-4)=13$, 因此 $\left|\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}\right|=|f(\boldsymbol{A})|=3 \times 13 \times 13=507$.
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