B站刘老师开讲《线性代数B》第七套期末模拟考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \ldots, \boldsymbol{\eta}_s$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一组解向量, 且 $k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\eta}_s$ 为导出齐次线性方程组 $A x=0$ 的解向量, 则 $k_1+k_2+\ldots+k_s=$.

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答案：

解析：

析设 $\eta_1, \eta_{\widehat{3}}, \ldots, \eta_t$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的 $t$ 个解, $c_1, c_2, \ldots, c_t$ 是 $t$ 个常数, 则
a. 当 $c_1+c_2+\ldots+c_t=1$ 时, $c_1 \eta_1+c_2 \eta_2+\cdots+c_t \eta_t$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解;
b. 当 $c_1+c_2+\ldots+c_t=0$ 时, $c_1 \eta_1+c_2 \eta_2+\cdots+c_t \eta_t$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解.

解已知 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \ldots, \boldsymbol{\eta}_s$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一组解向量, 即 $\boldsymbol{A} \eta_i=\boldsymbol{b}(i=1,2, \cdots, s)$,
$\boldsymbol{A}\left(k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \eta_2+\ldots+k_s \eta_s\right)=k_1 \boldsymbol{A} \eta_1+k_2 \boldsymbol{A} \eta_2+\ldots+k_s \boldsymbol{A} \eta_s=k_1 \boldsymbol{b}+k_2 \boldsymbol{b}+\ldots+k_s \boldsymbol{b}=\left(k_1+k_2+\ldots+k_s\right) \boldsymbol{b}$, 即
$$
\boldsymbol{A}\left(k_1 \eta_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\ldots+k_s \boldsymbol{\eta}_s\right)=\left(k_1+k_2+\ldots+k_s\right) \boldsymbol{b}
$$
且已知 $k_1 \eta_1+k_2 \eta_2+\cdots+k_t \eta_s$ 为导出齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解向量, 即
$$
A\left(k_1 \boldsymbol{\eta}_1+k_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\eta}_s\right)=\mathbf{0}
$$
对比 $(*)$ 式和(**)式知: $\left(k_1+k_2+\ldots+k_s\right) \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$, 而 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$, 所以 $k_1+k_2+\ldots+k_s={0}$.

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