考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a x-b\right)=0$, 则 $a=$ ,$b=$

答案：

解: 由题可得
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a x-b\right) & =\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a-\frac{b}{x}\right) \\
& =\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a-\frac{b}{x}}{\frac{1}{x}} .
\end{aligned}
$$
由于上式极限为 0 , 故要保证极限存在, 有
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right)=0,
$$
解得 $a=1$. 将 $a=1$ 代入原式, 有
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-x-b\right) & =\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-(1+2 b) x+1-b^2}{\sqrt{x^2-x+1}+(x+b)} \\
& =\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-(1+2 b)+\frac{1}{x}\left(1-b^2\right)}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\left(1+\frac{b}{x}\right)} \\
& =-\frac{1}{2}(1+2 b)=0
\end{aligned}
$$
故 $b=-\frac{1}{2}$.

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