题号:6596    题型:解答题    来源:考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学
设 $x_1>0$, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\ln \left(\mathrm{e}^{x_n}-1\right)-\ln x_n$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求值.
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答案：
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由 $x_{n+1}=\ln \left(\mathrm{e}^{x_n}-1\right)-\ln x_n=\ln \frac{\mathrm{e}^{x_n}-1}{x_n}$, 知 $\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\frac{\mathrm{e}^{x_n-1}}{x_n}$.
由 $x_1>0$, 知 $\mathrm{e}^{x_2}=\frac{\mathrm{e}^{x_1-1}}{x_1}>1$ (利用当 $x>0$ 时, $\mathrm{e}^x-1>x$ ), 故 $x_2>0$, 由归纳法, 知 $x_n>0$, 即 $\left\{x_n\right\}$ 有下 界.
又由拉格朗日中值定理, 可得 $\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\frac{\mathrm{e}^{x_n-1}}{x_n}=\frac{\mathrm{e}^{x_n-\mathrm{e}^0}}{x_n-0}=\mathrm{e}^{\xi_n} < \mathrm{e}^{x_n}$, 其中 $0 < \xi_n < x_n$. 而 $\mathrm{e}^x$ 是单调增加函 数, 故 $x_{n+1} < x_n$, 即 $\left\{x_n\right\}$ 单调减少, 由单调有界准则, 知 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在.
记 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$, 由 $\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\frac{\mathrm{e}^{x^n}-1}{x_n}$ 变形为 $x_n \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_n}-1$, 两边取极限 $(n \rightarrow \infty)$, 得 $a \mathrm{e}^a=\mathrm{e}^a-1$ 解得 $a=0$.
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