考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\cos x-\mathrm{e}^{x^2}\right) \sin x^2}{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}=$

答案：

利用泰勒公式, 分母中有 $\frac{x^2}{2}$ 项, 将 $\sqrt{1+x^2}$ 展开到比 $x^2$ 高次幂的项, 有
$$
\sqrt{1+x^2}=\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2 !} \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}-1\right) x^4+o\left(x^4\right),
$$
故
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\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}=\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right) \text {. }
$$
又 $\sin x^2 \sim x^2$, 将 $\cos x, \mathrm{e}^{x^2}$ 分别展开到 $x^2$ 项, 得
$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right), \mathrm{e}^{x^2}=1+x^2+o\left(x^2\right),
$$
故所以原式 $=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{3}{2} x^4+o\left(x^4\right)}{\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)}=-12$.

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