考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^2}-\mathrm{e}^{2-2 \cos x}}{\mathrm{e}^{x^4}-1}=$

答案：

方法 1 (洛必达) 当 $x \rightarrow 0$ 时, 有 $\mathrm{e}^{x^4}-1 \sim x^4$, 故
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^2}-\mathrm{e}^{2-2 \cos x}}{x^4}=\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{2-2 \cos x} \cdot \frac{\mathrm{e}^{x^2-2+2 \cos x}-1}{x^4} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-2+2 \cos x}{x^4}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x-2 \sin x}{4 x^3} \\
& =\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{3 x^2}=\frac{1}{6} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{x^2}=\frac{1}{12} .
\end{aligned}
$$

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