浙江省金华市2023年中考一模数学试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标. 如：求直线 $y=2 x+3$ 与 $y=-x+6$ 的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x+3 \\ y=-x+6\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{y}=5\end{array}\right.$, 所以直线 $y=2 x+3$ 与 $y=-x+6$ 的交点坐标为 $(1 ， 5)$. 请利用上述知识解决下列问题:
(1) 已知直线 $y=k x-2$ 和扡物线 $y=x^2-2 x+3$ ，
① 当 $k=4$ 时, 求直线与抛物线的交点坐标;
②当 $k$ 为何值时, 直线与拋物线只有一个交点?

(2) 已知点 $A(a, 0)$ 是 $x$ 轴上的动点, $B(0,4 \sqrt{2})$, 以 $A B$ 为边在 $A B$ 右侧做正方形 $A B C D$, 当正方形 $2 \sqrt{2}$
$A B C D$ 的边与反比例函数 $y=\overline{\mathrm{x}}$ 的图象有 4 个交点时, 试求 $a$ 的取值范围.

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答案：

解: (1) ①由题意得: $\left\{\begin{array}{l}y=4 x-2 \\ y=x^2-2 x+3\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}x_1=1 \\ y_1=2\end{array}\left\{\begin{array}{l}x_2=5 \\ y_2=18\end{array}\right.\right.$, 所以直线与批物线的交点坐标是 $(1,2),(5,18)$;

②联立两个函数并整理得: $x^2-(k+2) x+5=0$ ，
$\Delta=(-k-2)^2-4 \times 5=0$,
解得: $k=-2 \pm 2 \sqrt{5}$;

(2) ①当 $a>0$ 时, 如图1,

点 $A 、 B$ 的坐标分别为: $(a, 0) 、(0,4 \sqrt{2})$,
由点 $A 、 B$ 的坐标得, 直线 $A B$ 的表达式为: $y=-\frac{4 \sqrt{2}}{\mathrm{a}} x+4 \sqrt{2}$, 当线段 $A B$ 与双由线有一个交点时,
联立 $A B$ 表达式与反比例函数表达式得: $-\frac{4 \sqrt{2}}{\mathrm{a}} x+4 \sqrt{2}=\frac{2 \sqrt{2}}{\mathrm{x}}$,
整理得: $4 x^2-4 a x+2 a=0$,
$\triangle=(-4 a)^2-16 \times 2 a=0$, 解得: $a=2$,
故当 $a>2$ 时, 正方形 $A B C D$ 与反比例函数的图象有 4 个交点;

②当 $a < 0$ 时, 如图2,

(I) 当边 $A D$ 与双曲线有一个交点时,
过点 $D$ 作 $E D \perp x$ 轴于点 $E$,
$$
\begin{aligned}
& \because \angle B A O+\angle D A E=90^{\circ}, \angle D A E+\angle A D E=90^{\circ}, \\
& \therefore \angle A D E=\angle B A O, \\
& \because A B=A D, \angle A O B=\angle D E A=90^{\circ}, \\
& \therefore \triangle A O B \cong \triangle D E A(A A S), \\
& \therefore E D=A O=-a, A E=O B=4 \sqrt{2}, \\
& \text { 故点 } D(a+4 \sqrt{2}, a),
\end{aligned}
$$
由点 $A 、 D$ 的坐标可得, 直线 $A D$ 的表达式为: $y=\frac{\sqrt{2}}{8} a(x-a)$,
联立 $A D$ 与反比例函数表达式并整理得: $a x^2-a^2 x-16=0$,
$\Delta=\left(-a^2\right)^2-4 a \times(16)=0$ ，解得： $a=-4$ （不合题意值已舍去）;
(II) 当边 $B C$ 与双曲线有一个交点时，
同理可得: $a=-16$,
所以当怔方形 $A B C D$ 的边与反比例画数的图象有 4 个交点时, $a$ 的取值范围为: $-16 < a < -4$; 综上所述, $a$ 的敢值范围是 $a>2$ 或 $-16 < a < -4$.

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