2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图是函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,0 < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象, 则

$ \text{A.}$ $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ $ \text{B.}$ $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{5 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}\right]$ 单调递增 $ \text{C.}$ 直线 $x=-\frac{\pi}{3}$ 是曲线 $y=f(x)$ 的对称轴 $ \text{D.}$ $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 \pi}{12}$ 个单位得到函数 $g(x)=2 \sin 2 x$ 的图象

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答案：

解析：

A 项: 由图象可得 $\frac{3}{4} T=\frac{2 \pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3 \pi}{4}$,
解得 $T=\pi$, 所以 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=2$.
故 $f(x)=2 \sin (2 x+\varphi)$,
将 $\left(\frac{\pi}{6}, 2\right)$ 代人可得 $2 \sin \left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=2$,
解得 $\varphi=\frac{\pi}{6}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$,
又 $0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$, 所以 $\varphi=\frac{\pi}{6}$,
所以 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$, A 正确;
B 项: 当 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant 2 x+\frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$,
即 $-\frac{\pi}{3}+k \pi \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 时, $f(x)$ 単调递增,

$\left[\frac{5 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}\right] \not \subset\left[-\frac{\pi}{3}+k \pi, \frac{\pi}{6}+k \pi\right](k \in \mathbf{Z}), \mathbf{B}$ 错误;
$\mathbf{C}$ 项: 令 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$,

解得 $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,
当 $k=-1$ 时, $x=-\frac{\pi}{3}, \mathrm{C}$ 正确;
$\mathrm{D}$ 项 $f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{5 \pi}{12}$ 个单位, 得到 $y=2 \sin \left[2\left(x+\frac{5 \pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=-2 \sin 2 x \neq g(x), \mathrm{D}$ 错误.

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