2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

若 $\left(\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right)^n$ 的展开式中项的次数为整数的有且仅有 5 项, 则其常数项为

$ \text{A.}$ 第 8 项 $ \text{B.}$ 第7项 $ \text{C.}$ 第 6 项 $ \text{D.}$ 第5 项

答案：

解析：

$\left(\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right)^n$ 的展开式的通项公式为 $T_{r+1}=\mathrm{C}_n^r\left(\frac{1}{x}\right)^{n-t}$. $(\sqrt{x})^r=\mathrm{C}_a^r x^{\frac{8}{2} n}$,
因为 $r \in \mathbf{N}$, 所以当 $r=0,2,4,6,8,10, \cdots$ 时,
展开式中项的次数为整数,
又展开式中项的次数为整数的有且仅未 5 项,
所以 $n=9$, 故 $T_{r+1}=\mathrm{C}_9^r x^{\frac{\mathrm{x}}{2}-9}$, 令 $\frac{3 r}{2}-9=0$,
解得 $r=6$, 所以其常数项为第 7 项.

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