程守洙江之勇主编《普通物理学》-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

一质量为 $m$ 的光滑球 $\mathrm{A}$, 坚直下落, 以速度 $u$ 与质量为 $m^{\prime}$ 的球 B 碰撞. 球 B 由一根细绳悬挂着, 绳长被看作一定. 设碰撞时两球的连心线与坚直方向 ( $y$ 方向) 成 $\theta$ 角, 如图 2-41所示. 已知恢复系数为 $e$, 求碰撞后球 $\mathrm{A}$ 的速度.

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答案：

解这是个斜碰 (oblique impact) 问题. 按题意, 我们设 $\mathrm{A}$ 在碰撞后的分速度为 $v_x$ 与 $v_y ; \mathrm{B}$ 只能沿水平方向运动, 其速度为 $v^{\prime}$. 在碰撞中, 因两球在 $x$ 方向所受外力为零, 所以, 由动量守恒定律得
$$
m v_x+m^{\prime} v^{\prime}=0
$$
设在碰撞中相互作用力为 $\boldsymbol{F}$. 因接触是光滑的, 所以 $\boldsymbol{F}$ 在连心线方向上 . 应用动量定理有
$$
\begin{gathered}
m v_x=-F \sin \theta \Delta t \\
m v_y-(-m u)=F \cos \theta \Delta t
\end{gathered}
$$
由此求得
$$
\frac{v_y+u}{v_x}=-\cot \theta
$$

又因在斜碰中, 沿接触处法线方向上的分离速度与接近速度分别为 $-\left(v^{\prime}-v_x\right) \sin \theta-v_y \cos \theta$

与 $-u \cos \theta$, 因此,由式 (2-47) 得
$$
e=\frac{-\left(v^{\prime}-v_x\right) \sin \theta-v_y \cos \theta}{-u \cos \theta}
$$
由式 (1)、式 (2) 与式 (3) 联立求解,最后得
$$
\begin{aligned}
& v_x=-u \frac{m^{\prime}(1+e) \sin \theta \cos \theta}{m^{\prime}+m \sin ^2 \theta} \\
& v_y=-u\left[1-\frac{m^{\prime}(1+e) \cos ^2 \theta}{m^{\prime}+m \sin ^2 \theta}\right]
\end{aligned}
$$
当 $\theta=0$ 时, $v_x=0, v_y=e u$, 这说明球 $\mathrm{A}$ 将以速率 $e u$ 反弹. 这是对心碰撞的结果. 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时, $v_x=0, v_y=-u$, 这说明球 $\mathrm{A}$ 将以速率 $u$ 竖直下落. 因为接触是光滑的, 这后一结果就在意料之中.

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