程守洙江之勇主编《普通物理学》-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

按经典原子理论,认为氢原子中的电子在圆形轨道上绕核运动. 电子与氢原子核之间的静电力为 $F=k \frac{e^2}{r^2}$, 其中 $e$ 为电子电荷量的绝对值, $r$ 为轨道半径, $k$ 为常量. 因为电子的角动量具有量子化的特征, 所以电子绕核运动的角动量只能等于 $\frac{h}{2 \pi}$ 的整数 $(n)$ 倍 $[h$ 是一常量, 叫做普朗克 (Planck) 常量, $\left.h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\right]$, 问电子运动容许的轨道半径等于多少?

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答案：

解设电子的质量为 $m$, 绕原子核运动的圆轨道半径为 $r$, 速度为 $v$, 那么电子的向心加速度 $a_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{r}$. 由于作用在电子上的向心力就是原子核对电子的静电引力, 于是由牛顿第
二定律得$$
F=k \frac{e^2}{r^2}=m a_{\mathrm{n}}=m \frac{v^2}{r}
$$
由于电子绕核运动时,角动量具有量子化的特征, 即
$$
L=m v r=n \frac{h}{2 \pi}, \quad n=1,2,3, \cdots
$$
由式 (1) 和式 (2)两式,得
$$
r=\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 k m e^2}
$$
由上式可知, 电子绕核运动容许的轨道半径与 $n$ 平方成正比. 这就是说, 只有半径等于一些特定值的轨道才是容许的, 轨道半径的量值是不连续的.
将各常量的值 $\left(k=9 \times 10^9 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{C}^2, h=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}, m=9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, e=1.60 \times\right.$ $10^{-19} \mathrm{C}$ ) 代人式 (3), 并取 $n=1$, 得最小的 $r$ 值:$$
r_1=0.530 \times 10^{-10} \mathrm{~m}
$$
从近代物理学中知道, 这一量值与用其他方法估计得到的量值符合得很好.

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