程守洙江之勇主编《普通物理学》-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

一段均匀铁丝弯成半圆形, 其半径为 $R$, 质量为 $m$ 求此半圆形铁丝的质心.

答案：

解考虑半圆形铁丝的对称性, 取坐标轴如图 2-2 所示, 以圆心为坐标的原点. 其质心必在 $y$ 轴上. 在铁丝上任取一小段, 其长度为 $\mathrm{d} l$, 质量为 $\mathrm{d} m$, 如铁丝的线密度 (即单位长度的质量) 为 $\lambda$, 则有 $\mathrm{d} m=\lambda \mathrm{d} l$, 铁丝的质心坐标为

$$
y_C=\frac{\int y \mathrm{~d} m}{m}=\frac{\int y \lambda \mathrm{d} l}{m}
$$
由于 $y=R \cos \theta, \mathrm{d} l=R \mathrm{~d} \theta$, 代人得
$$
y_C=\frac{\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} R \cos \theta \lambda R \mathrm{~d} \theta}{m}=\frac{2 \lambda R^2}{m}
$$
铁丝的质量 $m=\lambda \pi R$, 代人得
$$
y_C=\frac{2}{\pi} R=0.64 R
$$
注意: 质心并不在铁丝上,但它相对于铁丝的位置是确定的.

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