答案：
解 在本题中, 运动学方程没有直接给出, 必须根据给定的条件自行写出. 取 $O$ 为原 点, $O x$ 轴水平向右, 见图 1-11 (b); 并设开始时, 曲柄 $A$ 端在 $O x$ 轴上的点 $P$ 处. 当曲柄以 匀角速 $\omega$ 转动时, 在 $t$ 时刻曲柄转角为 $\varphi=\omega t$, 这时 $B$ 处活塞的位置为 $x=O R+R B$, 即
$$
x(t)=r \cos \omega t+\sqrt{l^2-r^2 \sin ^2 \omega t}
$$
这就是活塞的运动学方程.
我们把上式右端第 2 项按二项式定理展开为级数:
$$
\sqrt{l^2-r^2 \sin ^2 \omega t}=l\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{r}{l}\right)^2 \sin ^2 \omega t+\cdots\right]
$$
一般 $r / l < 1 / 3$, 因此高阶小量可以略去,于是得活塞的运动学方程
$$
x(t)=r \cos \omega t+l\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{r}{l}\right)^2 \sin ^2 \omega t\right]
$$
而
$$
\begin{aligned}
& v(t)=\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}=-r \omega\left[\sin \omega t+\frac{1}{2}\left(\frac{r}{l}\right) \sin 2 \omega t\right] \\
& a(t)=\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}=-r \omega^2\left[\cos \omega t+\left(\frac{r}{l}\right) \cos 2 \omega t\right]
\end{aligned}
$$