2020-2022年高考物理光学电磁波相对论专题训练（Kmath科数青春回忆版）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用 $A 、 B$ 两个大头针确定入射光路、C、D两个大头针确定出射光路, $O$ 和 $O^{\prime}$ 分别是入射点和出射点, 如图 (a) 所示。测得玻璃砖厚度为 $h=15.0 \mathrm{~mm}, \mathrm{~A}$ 到过 $O$ 点的法线 $O M$ 的距离 $A M=10.0 \mathrm{~mm}, M$ 到玻璃砖的距离 $M O=20.0 \mathrm{~mm}, O^{\prime}$ 到 $O M$ 的距离为 $s=5.0 \mathrm{~mm}$ 。
(i) 求玻璃砖的折射率;
(ii) 用另一块材料相同, 但上下两表面不平行的玻璃砖继续实验, 玻璃砖的截面如图 (b) 所示。光从上表面入射, 入时角从 0 逐渐增大, 达到 $45^{\circ}$ 时, 玻璃砖下表面的出射光线恰好消失。求此玻璃砖上下表面的夹角。

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答案：

$\mid$ (i) 从 $\mathrm{O}$ 点射入时, 设入射角为 $\alpha$, 折射角为 $\beta$ 。根据题中所给数据可得:
$$
\begin{aligned}
& \sin \alpha=\frac{10.0}{\sqrt{10.0^2+20.0^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \\
& \sin \beta=\frac{5.0}{\sqrt{15.0^2+5.0^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}
\end{aligned}
$$
再由折射定律可得玻璃砖的折射率:
$$
n=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\sqrt{2}
$$
(ii) 当入射角为 $45^{\circ}$ 时, 设折射角为 $\gamma$, 由折射定律:
$$
n=\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \gamma}
$$
可求得：
$$
\gamma=30^{\circ}
$$
再设此玻璃砖上下表面的夹角为 $\theta$, 光路图如下:

而此时出射光线恰好消失, 则说明发生全反射, 有:
$$
\sin C=\frac{1}{n}
$$
解得:
$$
C=45^{\circ}
$$
由几何关系可知:
$$
\theta+30^{\circ}=C
$$
即玻璃砖上下表面的夹角:
$$
\theta=15^{\circ}
$$

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