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如图所示, 腰长为 2 的等腰Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, P$ 为腰 $A B$ 上的一个动点, 将 $\triangle P B C$ 沿 $C P$ 折桑得对应 $\triangle P D C$, 当 $P D$ 与 $\triangle A B C$ 的某一条边垂直时, $P D$ 的长为

$ \text{A.}$ 2 或 $4-2 \sqrt{2}$ $ \text{B.}$ 2 或 $4+2 \sqrt{2}$ $ \text{C.}$ 4或 $4-2 \sqrt{2}$ $ \text{D.}$ 4或 $4+2 \sqrt{2}$

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答案：

解析：

解: (1)当 $D P \perp A C$ 时, 如图,

此时点 $A$ 与点 $P$ 重合,
$\because \triangle A B C$ 为腰长为 2 的等腰直角三角形,
$$
\therefore A B=A C=2 \text {, }
$$
$\because$ 将 $\triangle P B C$ 沿 $C P$ 折桑得对应 $\triangle P D C$,
$$
\therefore P D=A B=2 \text {; }
$$

(2)当 $D P$ 的延长线垂直于 $B C$ 时, 设垂足为 $E$, 如图,
此时 $D 、 A 、 C$ 三点共线，
$\because$ 腰长为 2 的等腰 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}$,
$$
\therefore \angle B=45^{\circ}, A B=A C=2, \angle D A P=90^{\circ} \text {, }
$$
根据折桑的性质可知, $\angle B=\angle D=45^{\circ}, \angle P C B=\angle A C P$,
$\therefore \triangle A D P$ 为等腰直角直角三角形, $A D=A P$,
$\because D E \perp B C$,
$\therefore \triangle P B E$ 为等腰直角三角形, $P E=B E$,
$\because \angle P C B=\angle A C P, P A \perp A C, P E \perp B C$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore A P=P E, \\
& \text { 设 } P E=B E=x, \text { 则 } B P=\sqrt{2} x, \\
& \therefore A P=A B-P B=2-\sqrt{2} x, \\
& \therefore 2-\sqrt{2} x=x,
\end{aligned}
$$
解得: $x=2 \sqrt{2}-2$,
$$
\therefore P D=B P=\sqrt{2} x=4-2 \sqrt{2} \text {; }
$$
(3)当 $D P \perp A B$ 时, 此种情况不成立.
综上, $P D$ 的长为 2 或 $4-2 \sqrt{2}$.
故答案为: 2 或 $4-2 \sqrt{2}$.

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