题号:6411    题型:单选题    来源:2023年Kmath网中考数学选择题模拟试题（青春苦涩版）
如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的对称轴为 $x=-1$, 与 $x$ 轴的一个交点在 $(-3,0)$ 和 $(-2,0)$ 之间, 其部分图象如图所示, 则下列结论：
(1) $b^2-4 a c>0 $
(2) $2 a=b$
(3) 点 $\left(-\frac{7}{2}, y_1\right) 、\left(-\frac{3}{2}, y_2\right) 、\left(\frac{5}{4}, y_2\right)$ 是该抛物线上的点, 则 $y_1 < y_2 < y_2$;
(4) $3 b+2 c < 0 $
(5) $t(a t+b) \leq a-b$ ( $t$ 为任意实数);
(6) $(a+c)^2>b^2$, 其中正确结论 的个数是
$ \text{A.}$ 2 $ \text{B.}$ 3 $ \text{C.}$ 4 $ \text{D.}$ 5
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答案：
答案：
C

解析：

【详解】解: 由函数图象可知, 抛物线与 $x$ 轴有两个不同的交点,
$\therefore$ 关于 $x$ 的方程 $a x^2+b x+c=0$ 有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta=b^2-4 a c>0$,
$\therefore$ (1) 正确;
:抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的对称轴为 $x=-1$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore-\frac{b}{2 a}=-1, \\
& \therefore 2 a=b,
\end{aligned}
$$
$\therefore$ (2) 正确;
$\because$ 抛物线的对称轴为 $x=-1$, 点 $\left(\frac{5}{4}, y_1\right)$ 在抛物线上,
$$
\therefore\left(-\frac{13}{4}, y_3\right)
$$
$\because-\frac{7}{2} < -\frac{13}{4} < -\frac{3}{2}$, 且抛物线对称轴左边图象 $y$ 值随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore y_1 < y_1 < y_2$.
$\therefore$ （3）错误;

:当 $x=-3$ 时, $y=9 a-3 b+c < 0$, 且 $b=2 a$,
$\therefore 9 a-3 \times 2 a+c=3 a+c < 0$,
$\therefore 6 a+2 c=3 b+2 c < 0$,
$\therefore$ (4) 正确;
$\because b=2 a$,
$\therefore$ 方程 $a t^2+b t+a=0$ 中 $\Delta=b^2-4 a \cdot a=0$,
$\therefore$ 抛物线 $y=a t^2+b t+a$ 与 $x$ 轴只有一个交点,
:图中抛物线开口向下,

$$
\begin{aligned}
& \therefore a < 0, \\
& \therefore y=a t^2+b t+a \leq 0, \\
& \text { 即 } a t^2+b t \leq-a=a-b . \\
& \therefore(5) \text { 正确. } \\
& \because(a+c)^2-b^2=(a+c+b)(a+c-b), b=2 a, \\
& \therefore(a+c)^2-b^2=(3 a+c)(c-a),
\end{aligned}
$$
由图象可知： $c>0$,
$$
\begin{aligned}
& \because a < 0, \\
& \therefore c-a>0, \\
& \because 3 a+c < 0, \\
& \therefore(3 a+c)(c-a) < 0, \\
& \therefore(a+c)^2-b^2 < 0, \\
& \text { 即 }(a+c)^2 < b^2
\end{aligned}
$$
$\therefore$ (6) 错误.
故选: C.
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