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如图, $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=45^{\circ}, B C=4, \tan \angle A C B=3, A D \perp B C$ 于 $D$, 若将 $\triangle A D C$ 绕点 $D$ 逆时针方向旋转得到 $\triangle F D E$, 当点 $E$ 恰好落在 $A C$ 上, 连接 $A F$. 则 $A F$ 的长为

$ \text{A.}$ $\frac{3}{5} \sqrt{10}$ $ \text{B.}$ $\frac{3}{10} \sqrt{10}$ $ \text{C.}$ $\sqrt{10}$ $ \text{D.}$ $2$

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答案：

解析：

【详解】解: 过点 $D$ 作 $D H \perp A F$ 于点 $H$,
$$
\begin{aligned}
& \because \angle A B C=45^{\circ}, A D \perp B C, \\
& \therefore A D=B D, \\
& \because \tan \angle A C B=\frac{A D}{C D}=3,
\end{aligned}
$$
设 $C D=x$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore A D=3 x, \\
& \therefore B C=3 x+x=4, \\
& \therefore x=1, \\
& \therefore C D=1, A D=3,
\end{aligned}
$$

$\because$ 将 $\triangle A D C$ 绕点 $D$ 逆时针方向旋转得到 $\triangle F D E$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore D C=D E, D A=D F=3, \angle C D E=\angle A D F, \\
& \therefore C E C \sim D A F, \\
& \therefore \angle D C E=\angle D A F, \\
& \therefore \tan \angle D A H=3,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 设 } A H=a, D H=3 a, \\
& \because A H^2+D H^2=A D^2, \\
& \therefore a^2+(3 a)^2=3^2, \\
& \therefore a=\frac{3 \sqrt{10}}{10}, \\
& \therefore A H=\frac{3 \sqrt{10}}{10}, \\
& \because D A=D F, D H \perp A F, \\
& \therefore A F=2 A H=\frac{3 \sqrt{10}}{5}, \text { 故 A 正确. }
\end{aligned}
$$

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