答案：
（1）依题意, $A=R=\frac{5}{2}$,
$\frac{1.8}{60}=\frac{1}{T}$, 即 $T=\frac{100}{3}$, 则 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{\frac{100}{3}}=\frac{3 \pi}{50}$,
由给定的图形知, $\sin \varphi=-\frac{1.25}{2.5}=-\frac{1}{2}$, 又 $|\varphi| < \frac{\pi}{2}$, 即有 $\varphi=-\frac{\pi}{6}$,
所以 $d$ 与 $t$ 的函数解析式是 $d=\frac{5}{2} \sin \left(\frac{3 \pi}{50} t-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{5}{4}$;
(2) $d=\frac{5}{2} \sin \left(\frac{3 \pi}{50} t-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{5}{4}>0$, 即 $\sin \left(\frac{3 \pi}{50} t-\frac{\pi}{6}\right)>-\frac{1}{2}$
所以 $-\frac{\pi}{6} < \frac{3 \pi}{50} t-\frac{\pi}{6} < \frac{7 \pi}{6}$ ，解得 $0 < t < \frac{200}{9}$;
所以水车在一个旋转周期内, 盛水筒 $P$ 在水面以上的时长为 $\frac{200}{9} s$.