初中生数学竞赛精选-有理数与整式-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

若 $1=\frac{x y}{x+y}, 2=\frac{y z}{y+z}, 3=\frac{z x}{z+x}$, 则 $x=$ ________ (“东方航空杯”上海市初中数学竟赛题)

答案：

$\frac{12}{5} $

解析：

此题利用已知条件直接求 $x$ 的值十分困难, 我们可以利用到数将已知条件变形,并求出 $\frac{1}{x}$ 的值.

【解】由题设, 得: $\frac{x+y}{x y}=1$ 即
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1 \\
\frac{y+z}{y z}=\frac{1}{2} \text { 即 } \\
\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2} \\
\frac{z+x}{z x}=\frac{1}{3} \text { 即 } \\
\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{1}{3} \\
\text { (1) +(2) +(3)得: } 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{11}{6} \\
\therefore \\
\text { (4) - (2)得: } \frac{1}{x}=\frac{5}{12}, \therefore \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{11}{12} \\
\therefore x=\frac{12}{5} .
\end{gathered}
$$

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