初中生数学竞赛精选-有理数与整式-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如果对于某一特定范围内的 $x$ 的任一允许值 $P=|1-2 x|+$ $|1-3 x|+|1-4 x|+\cdots+|1-9 x|+|1-10 x|$ 为定值, 则定值为（合肥初一数学竞赛）

$ \text{A.}$ 2 $ \text{B.}$ 3 $ \text{C.}$ 4 $ \text{D.}$ 5

答案：

解析：

【分析】此题看起来给人一种扑朔迷离的感觉, 这时需冷静地对题目再认真地审视一番. 既然 $P$ 为定值, 可知与字母 $x$ 的取值无关, 现在的问题是, $x$ 为何值时化去所有的绝对值符号, 并且使含字母 $x$ 的项合并后完全消去. 我们注意到 $P$ 的表达式的前六项和后三项,并紧紧盯住 $|1-7 x|$ 这一项,于是, 我们找到了解题的突破口.
【解】当 $x>0$ 时,由 $1-7 x \geqslant 0$ 得: $x \leqslant \frac{1}{7}$,
$\therefore$ 当 $0 < x \leqslant \frac{1}{7}$ 时
$$
\begin{aligned}
& P=(1-2 x)+(1-3 x)+\cdots+(1-7 x)+(8 x-1)+(9 x-1) \\
& +(10 x-1)=(6-3)+(-27 x+27 x)=3 \text {, 故选 }(\mathrm{B}) .
\end{aligned}
$$

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