初中生数学竞赛精选-有理数与整式-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

计算: $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1997}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1996}\right)-\left(1+\frac{1}{2}\right.$ $\left.+\cdots+\frac{1}{1997}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1996}\right)=$ (1997 年 “希望杯”邀请赛初一试题)

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答案：

$\frac{1}{1997}$.

解析：

令 $a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1997}, b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1996}$, 则原式 $=a(1+b)-(1+a) b=a+a b-b-a b=a-b=\frac{1}{1997}$.

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