题号:6302    题型:单选题    来源:初中生数学竞赛精选-有理数与整式
计算 $\left(2^1+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)$ $\left(2^{64}+1\right)$ 的结果是 (“汉江杯”初中数学竞赛题)
$ \text{A.}$ $2^{32}-1$ $ \text{B.}$ $2^{64}-1$ $ \text{C.}$ $2^{128}-1$ $ \text{D.}$ $2^{64}$
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答案：
答案：
C

解析：

【分析】 “1”是个十分奇特的数, 虽然简单, 内涵却丰富. “1”在解答数 学题中有许多妙用. 这里我们将 1 写成 $\left(2^1-1\right)$ 的形式, 把它写在已知式 里作为第一个因式, 再反复运用乘法公式: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
【解】原式 $=\left(2^1-1\right)\left(2^1+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}\right.$
$$
\begin{aligned}
& +1)\left(2^{64}+1\right) \\
= & \left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)\left(2^{64}\right. \\
& +1) \\
= & \left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)\left(2^{64}+1\right) \\
= & \left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)\left(2^{64}+1\right) \\
= & 2^{128}-1 \quad \text { 故选 }(C) .
\end{aligned}
$$
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