$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\int_0^1\left[1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1}\right] \mathrm{d} x .$$

\begin{aligned} & 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1} \\ & =(-x)^0+(-x)^1+\cdots+(-x)^{n-1}=\frac{1 \cdot\left[1-(-x)^n\right]}{1-(-x)}=\frac{1-(-1)^n x^n}{1+x} \\ & =\frac{1-(-1) \cdot(-1)^{n-1} x^n}{1+x}=\frac{1+(-1)^{n-1} x^n}{1+x}=\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} . \end{aligned}

$$\int_0^1\left[1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1}\right] \mathrm{d} x=\int_0^1\left[\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x}\right] \mathrm{d} x .$$

$$\ln 2=\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$$

\begin{aligned} & 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2 \\ & =\int_0^1\left[\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x}\right] \mathrm{d} x-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} \mathrm{~d} x . \end{aligned}

\begin{aligned} S & =\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2\right]=\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} \mathrm{~d} x \\ & =\int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^n \mathrm{~d} x \\ & =\int_0^1 \frac{x}{1+x} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{n-1} \mathrm{~d} x \\ & =\int_0^1 \frac{x}{1+x} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n \mathrm{~d} x \\ & =\int_0^1 \frac{x}{1+x} \cdot \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x \\ & =\int_0^1 \frac{x}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x . \end{aligned}

\begin{aligned} & \int_0^1 \frac{x}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \frac{x+1-1}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x=\int_0^1\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right] \mathrm{d} x \\ &=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}(x+1)}{x+1}+\int_0^1\left[-\frac{1}{(x+1)^2}\right] \mathrm{d} x \\ &=\left.\left[\ln (x+1)+\frac{1}{x+1}\right]\right|_0 ^1 \\ &=\ln (1+1)+\frac{1}{2}-(\ln 1+1) \\ &=\ln 2+\frac{1}{2}-0-1 \\ &=\ln 2-\frac{1}{2} . \\ & \text { 即: } S=\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2\right]=\ln 2-\frac{1}{2} . \end{aligned}

①点击 收藏 此题， 扫码注册关注公众号接收信息推送（一月四份试卷,中1+高2+研1）
② 程序开发、服务器资源都需要大量的钱，如果你感觉本站好或者受到到帮助，欢迎赞助本站,赞助方式：微信/支付宝转账到 18155261033

 ①此题难易度如何 ②此题推荐度如何 确定