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求 $S=\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2\right]$.

答案：

解: 分别用定积分形式表示求和项:
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\int_0^1\left[1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1}\right] \mathrm{d} x .
$$
由等比数列求和公式可知:
$$
\begin{aligned}
& 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1} \\
& =(-x)^0+(-x)^1+\cdots+(-x)^{n-1}=\frac{1 \cdot\left[1-(-x)^n\right]}{1-(-x)}=\frac{1-(-1)^n x^n}{1+x} \\
& =\frac{1-(-1) \cdot(-1)^{n-1} x^n}{1+x}=\frac{1+(-1)^{n-1} x^n}{1+x}=\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} .
\end{aligned}
$$
于是:
$$
\int_0^1\left[1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1}\right] \mathrm{d} x=\int_0^1\left[\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x}\right] \mathrm{d} x .
$$
并且:
$$
\ln 2=\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x
$$
于是有:
$$
\begin{aligned}
& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2 \\
& =\int_0^1\left[\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x}\right] \mathrm{d} x-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} \mathrm{~d} x .
\end{aligned}
$$
即:

$$
\begin{aligned}
S & =\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2\right]=\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} \mathrm{~d} x \\
& =\int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{1+x} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^n \mathrm{~d} x \\
& =\int_0^1 \frac{x}{1+x} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{n-1} \mathrm{~d} x \\
& =\int_0^1 \frac{x}{1+x} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n \mathrm{~d} x \\
& =\int_0^1 \frac{x}{1+x} \cdot \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x \\
& =\int_0^1 \frac{x}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x .
\end{aligned}
$$

下面计算定积分:
$$
\begin{aligned}
& \int_0^1 \frac{x}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \frac{x+1-1}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x=\int_0^1\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right] \mathrm{d} x \\
&=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}(x+1)}{x+1}+\int_0^1\left[-\frac{1}{(x+1)^2}\right] \mathrm{d} x \\
&=\left.\left[\ln (x+1)+\frac{1}{x+1}\right]\right|_0 ^1 \\
&=\ln (1+1)+\frac{1}{2}-(\ln 1+1) \\
&=\ln 2+\frac{1}{2}-0-1 \\
&=\ln 2-\frac{1}{2} . \\
& \text { 即: } S=\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2\right]=\ln 2-\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

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