2023年4月山西省高考物理第一轮模拟考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 小物块 $P$ 置于倾角 $\theta=30^{\circ}$ 的光滑固定斜面上, 轻质定滑轮固定在斜面顶端, $Q$ 和 $P$ 用跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连, 轻绳恰好和斜面平行。 $t=0$ 时将 $P$ 由静止释放, 此时 $Q$ 的加速度大小为 $\frac{g}{4}$ 。 $t_0$ 时刻轻绳突然断裂, 之后 $P$ 能达到的最高点恰与 $Q$ 被释放时的位置处于同一高度。取 $t=0$ 时 $P$ 所在水平面为零势能面, 此时 $Q$ 的机械能为 $E$ 。已知 $0 \sim 2 t_0$ 内 $Q$ 末落地, 不考虑空气阻力, 下列说法正确的是

$ \text{A.}$ $P 、 Q$ 质量之比为 $1: 2$ $ \text{B.}$ $\frac{3 t_0}{2}$ 时 $Q$ 的机械能为 $\frac{E}{2}$ $ \text{C.}$ $\frac{3 t_0}{2}$ 时 $P$ 的重力势能为 $E$ $ \text{D.}$ $2 t_0$ 时 $P$ 重力的功率为 $\frac{2 E}{3 t_0}$

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答案：

解析：

解： $A$ 、将 $P$ 由静止释放, 此时 $Q$ 的加速度大小为 $\frac{g}{4}$, 对 $P 、 Q$ 整体, 根据牛顿第二定律可得 $m_Q g-m_P g \sin 30^{\circ}=\left(m_Q+m_P\right) \frac{g}{4}$, 解得 $m_P: m_Q=1: 1$, 故 $A$ 错误；
$B C 、 t_0$ 时刻 $P 、 Q$ 的速度为 $v=\frac{1}{4} g t_0, P 、 Q$ 运动的位移大小为 $x_1=\frac{v}{2} t_0=\frac{\frac{1}{4}}{2} g t_0 t_0=\frac{1}{8} g t_0^2$
绳子断后 $P$ 沿斜面做减速运动, 根据牛顿第二定律可知 $m g \sin \theta=m a_1$, 解得 $a_1=\frac{1}{2} g$
$P$ 还能沿斜面运动的时间为 $t_1=\frac{v}{a_1}=\frac{\frac{1}{4} g t_0}{\frac{1}{2} g}=\frac{1}{2} t_0$
$P$ 在 $t_1$ 时间内运动的位移为 $x_2=\frac{v}{2} \cdot \frac{t_0}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{2} t_0} \cdot \frac{t_0}{2}=\frac{1}{16} g t_0^2$
即在时间为 $\frac{3 t_0}{2}$ 时 $P$ 运动到最高点。
设 $P 、 Q$ 质量为 $m$, 根据题意取 $t=0$ 时 $P$ 所在水平面为零势能面, 此时 $Q$ 的机械能为 $E$, 可知 $E=m g\left(x_1+x_2\right) \sin \theta$
解得 $m=\frac{32 E}{3 g^2 t_0^2}$
在 $\frac{3 t_0}{2}$ 时 $P$ 运动到与 $Q$ 被释放时的位置处于同一高度, 所以此时 $P$ 的机械能为 $E$, 即重力势能为 $E$ 。由于 $P, Q$ 组成的系统机械能守恒, 即此时 $Q$ 的机械能等于零，故 $B$ 错误, $C$ 正确；
$D$ 、在 $\frac{3 t_0}{2}$ 时 $P$ 上升到最高点, 此后 $P$ 以 $\frac{1}{2} g$ 的加速度向下做初速度为零的匀加速运动, 在 $2 t_0$ 时 $P$ 的速度为 $v^{\prime}=\frac{1}{2} g \cdot \frac{1}{2} t_0=\frac{1}{4} g t_0$ , 所以重力的功率 $P=m g v^{\prime} \sin \theta$, 解得 $=\frac{4 E}{3 t_0}$, 故 $D$ 错误。
故选: $C$ 。

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