2023年3月泉州市中考模拟数学试卷与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C$ 是钝角.
(1) 求作 $\odot O$, 使得圆心 $O$ 在边 $A C$ 上, 且 $\odot O$ 经过点 $B 、 C$ (要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图癏迹);
(2) 在(1)的条件下, 设 $A C$ 与 $\odot O$ 的另一个交点为 $D$, 且 $A C=2 A B=4 A D$.
求证: $A B$ 是 $\odot O$ 的切线.

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答案：

(1)如图

(2)

如图 2, 连接 $O B$, 设 $A C=8 k(k>0)$, 则 $A B=4 k, A D=2 k, \cdots 4$ 分
$$
\begin{aligned}
& \therefore C D=A C-A D=8 k-2 k=6 k, \\
& \therefore O C=O B=O D=\frac{1}{2} \times 6 k=3 k, \\
& A O=A D+O D=2 k+3 k=5 k \quad \ldots
\end{aligned}
$$
在 $\triangle A B O$ 中, $O B^2+A B^2=(3 k)^2+(4 k)^2=25 k^2, A O^2=25 k^2$,
$$
\therefore O B^2+A B^2=A O^2 \text {, }
$$
$\therefore \angle A B O=90^{\circ}$, 即 $A B \perp B O$.
$\because$ 点 $B$ 在 $\odot O$ 上,
$\therefore A B$ 是 $\odot O$ 的切线.

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